Verifica del limite ed esempi

Per verifica del limite si intende la serie di operazioni attraverso le quali è possibile affermare che un limite dato è esatto oppure no.

Per verificare un limite dato è, quindi, sufficiente seguire i seguenti passi:

  1. scrivere, con la f(x) data, la disequazione presente nella definizione di limite considerato, cioè | f(x) -l | < ε oppure | f(x) | > M o f(x) < − M;
  2. risolvere la disequazione;
  3. esaminare la soluzione per verificare che si sia ottenuto o meno l’intorno richiesto dal tipo di limite trattato: I(x0), I(+ ∞) ecc.;
  4. concludere che il limite è verificato, in quanto si è effettivamente ottenuto l’intorno dato nella definizione; concludere che il limite è errato in quanto non si è ottenuto l’intorno previsto.

Esempi

Verranno ora presentati alcuni esempi per ogni tipo di limite considerato precedentemente.

Saranno scelti i casi più semplici possibili, poiché il loro scopo non è quello di sviluppare un’adeguata tecnica di calcolo (che si può ottenere risolvendo molti esercizi progressivamente più complicati) ma rinforzare, anche attraverso il calcolo, la comprensione del complesso concetto di limite.

Es. 1 (limite finito per x che tende ad un valore finito)

Verifica del limite ed esempi_img_0_800x399

Si è trovato un intorno completo di 2, quindi il limite è VERIFICATO.

Es. 2 (limite destro finito per x che tende ad un valore finito)

Verifica del limite ed esempi_img_1_800x287La prima delle due disuguaglianze ottenute ( x < 3 + ε) è un intorno destro di 5, quindi il limite è VERIFICATO. Si può provare in maniera ugualmente immediata che 5 non è anche il limite sinistro. lim f(x) = 5

X  3

In questo caso dobbiamo prendere y = x e non, come prima, y = x + 2, che vale solo per x >3:

Verifica del limite ed esempi_img_2_800x429

Poiché ε deve essere piccolo a piacere il limite è NON VERIFICATO.

Es. 3 (limite + ∞ per x che tende ad un valore finito x0) f(x) = 1/(x-1)2; lim f(x) = + ∞;  1/(x-1)2 > M

X  1

Verifica del limite ed esempi_img_3_800x532

Es. 4 (limite − ∞ per x che tende ad un valore finito x0) f(x) = − 1/(x-1)2; lim − 1/(x-1)2 = − ∞;  − 1/(x-1)2 < − M

X  1

Ripercorrendo i passaggi dell’es. 3 dimostrare che il limite è VERIFICATO.

Es. 5 (limite finito l per x che tende a − ∞)

f(x) = 1/x; lim 1/x = 0;  | 1/x − 0| < ε

X  − ∞

Verifica del limite ed esempi_img_4_684x600Poiché si è ottenuto un intorno di − ∞ il limite è VERIFICATO.

Es. 6 (limite finito l per x che tende a + ∞)

f(x) = 1/x; lim 1/x = 0;  | 1/x − 0| < ε

X  + ∞

Occorre ripetere i passaggi dell’esempio precedente e notare che nella soluzione del sistema vi è anche un intorno di + ∞, quindi il limite è VERIFICATO.

Es. 7 (limite + ∞ per x che tende a + ∞)
f(x) = 2x – 1; lim 2x – 1 = + ∞;  2x – 1 > M

X  + ∞

2x – 1 > M  2x > M + 1  x > (M + 1) / 2
Essendo M grande a piacere, si è ottenuto un intorno di + ∞, quindi il limite è VERIFICATO.

Es. 8 (limite – ∞ per x che tende a – ∞)
f(x) = 2x – 1; lim 2x – 1 = – ∞;  2x – 1 < – M

X  -∞

2x – 1 < – M  2x < – M + 1  x < (– M + 1) / 2
Essendo M grande a piacere, si è ottenuto un intorno di – ∞, quindi il limite è VERIFICATO.

Es. 9 (limite – ∞ per x che tende a + ∞)
f(x) = – 3x +1; lim – 3x +1 = – ∞;  – 3x +1 < – M

X  + ∞

– 3x +1 < – M  – 3x < – M – 1  3x > M + 1  x > (M + 1) / 3
Essendo M grande a piacere, si è ottenuto un intorno di + ∞, quindi il limite è VERIFICATO.

Es. 10 (limite + ∞ per x che tende a – ∞)
f(x) = – 3x +1; lim – 3x +1 = + ∞;  – 3x +1 > M

X  -∞

– 3x +1 > M  – 3x > M – 1  3x < – M + 1  x < (– M + 1) / 3
Essendo M grande a piacere, si è ottenuto un intorno di – ∞, quindi il limite è VERIFICATO.